Arxiu d'etiquetes: projectes

L’educació matemàtica contra l’adoctrinament i l’aprenentatge basat en problemes

Xavier Àvila i Morera (Professor de l’àrea de didàctica de les matemàtiques i integració de sabers)

Aquests dies es parla d’adoctrinament a l’escola catalana. I no cal dir que es fa de manera més aviat interessada, sense proves prou convincents i amb l’afany gens innocent de desvirtuar la realitat. Es diu que “l’escola catalana adoctrina” de la mateixa manera que es diu que “a l’escola catalana no s’ensenya el castellà” o que “per viure a Catalunya cal saber català”, la qual cosa, aquesta última, si fos veritat, en cap altre país del món no seria cap disbarat.

Sobre el concepte d’adoctrinament, al diccionari de l’Institut d’Estudis Catalans es defineix el verb adoctrinar amb dues accepcions: (1) Instruir (algú) en alguna cosa i (2) fer entrar (algú) en certes doctrines, en certes opinions. Per la seva banda el diccionari de la Real Academia Española el defineix com a “inculcar a alguien determinadas ideas o creencias”. Deixant de banda la possible reflexió sobre les subtils diferències amb què l’ús del llenguatge es configura i configura cada cultura, podem convenir que, d’una manera més o menys invasiva (instruir, fer entrar, inculcar) la idea d’adoctrinar comporta una certa imposició d’allò que es vol que pensi qui és adoctrinat. Per tant, serà més fàcil d’adoctrinar qui tingui menys recursos per pensar pel seu compte.

Des de la nostra àrea de didàctica de les matemàtiques precisament ens plantegem l’ensenyament i l’aprenentatge de les matemàtiques per donar el màxim de recursos per entendre el món que ens envolta de manera autònoma i entenem que l’accés i el domini del coneixement no només és un dret que té tothom sinó que és fonamentalment emancipador. Pretenem que els nostres aprenents, – ja siguin els futurs mestres o les nenes i els nens de les escoles–, es qüestionin tota la informació que reben, tant si els arriba a través d’un llibre de text, com dels mitjans de comunicació, com de les xarxes digitals, dels companys, de nosaltres mateixos o dels altres mestres i persones de l’escola.

Això ho fem mitjançant activitats que generen situacions d’aprenentatge que estimulen el debat, que respecten la diversitat, que faciliten que ens escoltem els uns als altres, mirant de convèncer mitjançant l’argumentació, promovent la capacitat d’entendre punts de vista diferents del nostre i, quan s’escau, també canviant les nostres opinions i enriquint-nos mútuament.

A continuació presentem com a exemple una activitat d’aula que permet il·lustrar aquesta manera de treballar. Concretament, es basa en l’anàlisi d’una notícia de quan, després d’aprovar-se l’Estatut del 2006 al Parlament de Catalunya, el Partido Popular va recollir signatures per tot Espanya per demanar que l’aprovació d’aquell Estatut per a Catalunya es sotmetés al vot de tots els espanyols mitjançant un referèndum –val a dir que això era quan encara es podia parlar de referèndum com si fos un instrument democràtic.

Als diaris va aparèixer la notícia, un fragment de la qual deia el següent:

Las 4.020.000 firmas han llegado al Congreso en 876 cajas apiladas en palés y transportadas por diez furgonetas. Las furgonetas han aparcado junto a la puerta principal del Congreso, donde dos máquinas elevadoras han ido sacando los palés con las cajas y los han ido disponiendo delante de los leones de la escalinata.

L’activitat consisteix en que, sense parlar prèviament de la notícia, es proposa un doble repte a resoldre en grups de quatre o cinc estudiants. Per una banda a uns grups se’ls demana que calculin l’espai que ocuparien quatre milions de signatures i, per altra banda, als altres grups se’ls demana que calculin quantes signatures cabrien dins de deu furgonetes.

És una activitat que es planteja des de la perspectiva de l’aprenentatge basat en problemes. Es presenta de manera força oberta per tal que promogui que els estudiants es formulin preguntes i hagin de prendre decisions argumentades. Per exemple, quantes signatures caben en un full d’aquests que s’utilitzen en les campanyes de recollida de signatures? Quin espai ocupa cada full? Acostumem a portar a l’aula algunes caixes de fulls DIN A-4 i els estudiants prenen mides, s’adonen que hi diu 80 gr/m² i això els fa qüestionar sobre magnituds: superfície, volum, densitat… Per la seva banda els grups que miren de calcular quantes signatures caben en deu furgonetes es pregunten coses com ara: quines mides té una furgoneta? quina diferència hi ha entre les mides de la furgoneta i l’espai de càrrega útil? I es troben amb el concepte de tara, de pes màxim autoritzat que també els fa qüestionar sobre la diferència entre les magnituds capacitat i massa.

Després de treballar-hi una bona estona se sol arribar al resultat que, depenent de les decisions que ha pres cada grup, ve a ser que 4 milions de signatures ocuparien un volum d’aproximadament  1,5 m³. Aquest resultat surt de comptar unes 20 signatures per full, per una sola cara. I per l’altra banda,  els altres grups arriben a la conclusió que en 10 furgonetes de mida mitjana (5 m³ de capacitat de càrrega) hi cabrien uns 135 milions de signatures.

En aquest moment, mostrem la notícia dels diaris (El País, 25 d’abril de 2006) i això, és clar, en primer lloc genera sorpresa. Molt sovint després del “no pot ser”, els grups miren de verificar els seus càlculs i buscar on s’han equivocat. Comparen els resultats d’un grup amb un altre, busquen explicacions que justifiquen algunes diferències. “A nosaltres ens dóna menys volum perquè hem considerat que els fulls es signaven per davant i per darrere”. “A nosaltres ens caben menys signatures perquè hem triat una furgoneta més petita”. De tota manera, la diferència segueix sent abismal. Alguns grups pensen que els que han calculat l’altra pregunta són els que s’han equivocat i s’intercanvien les tasques. Però tornen a arribar a resultats molt semblants. En aquest procés, no cal dir-ho, s’utilitzen els recursos matemàtics en un context real i molt significatiu, perquè es vol resoldre un problema de debò, que interpel·la tot el grup. “Si això és el que diu el diari, nosaltres ens estem equivocant…”, “Va, profe, tu ho saps oi? Què estem fent malament?”. I sí que ho sabem. Sabem en què s’equivoquen. I no té, precisament, base matemàtica. S’equivoquen en considerar que una cosa, pel fet de sortir als diaris, ha de ser veritat.

Finalment, és clar, arribem a la conclusió que els diaris van publicar una gran mentida. I a partir d’aquí sorgeixen moltes més preguntes: com és possible? per què se’ns enganya d’aquesta manera? què hi devia haver dins les caixes?

Buscar aquestes respostes també en s porta a reflexionar sobre la percepció que tenim d’algunes magnituds: “Potser, si haguessin mostrat un sol palet amb totes les signatures no impressionaria tant perquè la gent sap que s´´on moltes però no sap el que ocupen…” Parlem de la necessitat de connectar els nombres i tot allò que sabem amb la realitat, de la necessitat de viure experiències d’estimació significatives… Però la comprensió del món no es limita a això i també cal reflexionar sobre la intencionalitat. “Els qui han fet això segur que sabien que no hi havia les signatures!” “I algú va haver de llogar les furgonetes per carregar-hi caixes buides, oi?”

Es pot considerar adoctrinar promoure que els nens i nenes es formulin aquestes preguntes?

Podríem posar altres exemples, per exemple amb les dades de la Via Catalana de l’Onze de Setembre de 2013. Quantes persones caldria que es donessin les mans per fer una filera de 400 km? I després, mirant la documentació gràfica, es podrien fer algunes estimacions més precises…

Estem convençuts que el domini del raonament matemàtic permet interpretar la realitat anant més enllà del que els  titulars de diari mostren explícitament. I podem acabar il·lustrant-ho amb un altre exemple relacionat amb els últims resultats de l’enquesta del Centro De Estudios de Opinión (CEO). Allà es deia que el percentatge de catalans partidaris de la independència és del 48,0% i el dels contraris a la independència és del 43,7%.  Més enllà del titular repetit una i altra vegada que els partidaris de la independència no arriben al 50%, es pot pensar què volen dir aquestes dades si enlloc de ser els resultats d’una enquesta fossin els resultats d’un referèndum. Atès que en un referèndum només es comptabilitzen les respostes en un sentit o en un altre, els partidaris de la independència serien el 57,4 % mentre que els contraris a la independència serien el 42,6%. Adonar-se d’això porta, com a mínim, a desconfiar d’aquells polítics que basen el seu discurs en el fet que no hi ha una majoria clara a favor de la independència. I també ajuda a entendre per què molts polítics, amb la complicitat dels mitjans d’informació que els fan d’altaveu de forma acrítica, han equiparat la demanda de fer un referèndum a la reclamació de la independència.

Crear aquesta mena de confusions no s’acosta més al concepte d’adoctrinament que no pas el que fem a l’escola?

Els problemes de matemàtiques, els projectes d’innovació educativa i la suspensió de cerca de sentit.

Xavier Àvila (Àrea de Didàctica de les Matemàtiques i Integració de Sabers)

La resolució de problemes més enllà de ser un contingut propi de l’aprenentatge de matemàtiques està esdevenint un aspecte central de l’aprenentatge en general com es desprèn de la concepció d’aprenentatge basat en problemes i reptes així com també té molts elements en comú amb el treball per projectes.

En el darrer Currículum, de juny de 2015, es presenta en aquests termes: «La resolució de problemes és una de les activitats més genuïnes del quefer matemàtic. S’hi posen en joc i prenen significat pràcticament tots els aspectes treballats en l’educació matemàtica. Un problema és una proposta d’enfrontament amb una situació desconeguda que es planteja a través d’un conjunt de dades dins d’un context, per a la qual, en principi, no es disposa d’una resposta immediata i que requereix reflexionar, prendre decisions i dissenyar estratègies». I se’n destaca el seu valor central indicant que: «La resolució de problemes no és una tasca per fer al final d’un trajecte sinó que pot ser el desencadenant del procés. No tan sols cal ensenyar matemàtiques per resoldre problemes, sinó també ensenyar matemàtiques a partir i a través de la resolució de problemes. Una metodologia centrada en la resolució de problemes dóna l’oportunitat de desvetllar en els alumnes el gust per enfrontar-se a un repte, lluitar-hi de manera tenaç, experimentar, cercar ajut adequat, si cal, assaborir l’èxit i adquirir confiança en les pròpies capacitats.» (Generalitat de Catalunya, Departament d’Educació, 2015)

Per altra banda, en el nostre país darrerament estan apareixent diverses propostes  d’innovació pedagògica que, des de plantejaments més o menys diversos, conflueixen en l’orientació de l’aprenentatge vers aquesta perspectiva. Es proposa partir de reptes motivadors i que tenen sentit per als estudiants, treballar de forma globalitzada i integrant els sabers diversos, potenciar l’experimentació i la descobeta, vincular l’aprenentatge amb la realitat, etc. Val a dir que totes aquestes idees no són pas gaire noves, –només cal revisar els principis de l’Escola Nova o les propostes de Decroly, Dewey o Kilpatrick de mitjans del segle XX. I també cal considerar que al nostre país hi ha escoles que d’una manera o altra ja fa anys que estan aplicant aquests plantejaments pedagògics. Però actualment, segurament pel fet que ara s’hi estan apuntant grans institucions educatives com els Jesuïtes, –amb el seu projecte “Horitzó 2020”–, o l’Escola Pia, –amb “Summem”–, i estan fent propostes molt sistematitzades en aquesta línia, aquests processos d’innovació estan tenint un ressó important i de segur que revertiran en una millora significativa del nostre sistema educatiu en general.

Des de la didàctica de les matemàtiques l’aprenentatge basat en la resolució de problemes ve de molt antic, compta molta experiència acumulada i ha estat força analitzada. Per això creiem que en aquest moment pot ser interessant compartir algunes descobertes que puguin ajudar en aquest procés .

L’aplicació del coneixement matemàtic per a la resolució de situacions-problema del món real l’anomenem modelització matemàtica i, tradicionalment, per introduir-la a classe de matemàtiques s’han utilitzat problemes verbals. Els problemes verbals es poden definir com a «descripcions verbals de situacions problema en les quals es plantegen una o més preguntes, les respostes de les quals es poden obtenir mitjançant l’aplicació d’operacions matemàtiques a les dades numèriques donades en els enunciats» (Verschaffel, Greer y De Corte, 2000) I, per bé que la utilització d’aquesta mena de problemes per a l’aprenentatge de matemàtiques es remunta a fa milers d’anys, tal com apunta el psicòleg belga Lievel Verschaffel (2012) «en els darrers 25 anys la pràctica (tradicional) de problemes verbals en la matemàtica escolar no facilita en l’alumnat una disposició genuïna envers la modelització matemàtica ni envers la resolució de problemes d’aplicació pràctica sinó que més aviat en constitueixen un obstacle». Aquesta constatació, força preocupant, es pot explicar a partir del fenòmen que el mateix Verschaffel (2012) anomena suspensió de cerca de sentit.

La suspensió de cerca de sentit podríem dir que consisteix en un procés d’automatització de procediments de càlcul desvinculats de la reflexió. Potser la millor manera d’entendre-ho pugui ser utilitzant l’exemple d’un estudi francès que va analitzar les respostes d’alumnat d’educació primària a diversos enunciats de problemes com ara aquest: “En un vaixell hi ha 26 ovelles i 10 cabres. ¿Quina edat té el capità?” El resultat va ser que una gran majoria de l’alumnat va donar respostes numèriques, mentre que van ser molt pocs els alumnes que van manifestar dubtes que hi pogués haver cap resposta possible.

Aquesta situació ha estat analitzada a bastament i s’han fet molts altres estudis semblants per comparar les respostes que aplicaven judicis basats en coneixements del món real i suposicions lògiques abans de l’aplicació rutinària de les operacions aritmètiques bàsiques suggerides per l’enunciat amb aquelles respostes que es basaven directament en l’aplicació de rutines de càlcul predictibles però sense cap mena de consideració realista. Els resultats han corroborat una manca generalitzada d’aplicació del coneixement informal i fins i tot del sentit comú.

En altres estudis es va incloure algun avís en l’enunciat suggerint que alguns dels problemes que es presentaven podia ser que tinguessin respostes no trivials o que podien requerir formes de resolució poc usuals però, tot i així, l’impacte d’aquests avisos va ser més aviat pobre.

I encara, d’altres estudis es van centrar en l’anàlisi de l’escenari en el que es presentaven aquestes situacions-problema. Això és, un mateix problema es presentava en un context escolar restrictiu, –classe de matemàtiques–, i després la mateixa situació es plantejava en un context més proper al món real. Per exemple, un problema en què es demanava quantes furgonetes es necessitarien per desplaçar un grup nombrós de persones, es va proposar primer a un grup de vint nens de 10-11 anys com a problema de classe i després es va poposar a un altre grup equivalent que fessin l’encàrrec de les furgonetes per telèfon a la companyia de transports. En la primera situació només dos alumnes van tenir en compte criteris realistes com, per exemple, que el resultat havia de ser un nombre enter de furgonetes, mentre que en la segona situació hi va haver setze nens que van tenir en compte els condicionants reals de la situació i, per tant, la van resoldre correctament.

maxresdefault

Amb això es va poder comprovar que el fenomen de la suspensió de cerca de sentit, almenys en la resolució de problemes aritmètics verbals, no té a veure amb un estrany tipus de dèficit cognitiu, sino que sobretot té a veure amb les característiques del context de la demanda.

És a dir, que segons com es concretin les situacions d’aprenentatge que creem a l’escola podem fer  que les nenes i els nens posin en joc tot allò que saben i amb això construeixin nou coneixement o, ben al contrari, hi ha el risc que si aquestes situacions apareixen desvinculades del seu entorn real i les viuen com a artificioses, estiguem reforçant, sense voler-ho, processos de resposta més o menys automàtica desvinculats de l’atribució de sentit, de suspensió de cerca de sentit.

Aprofundint en la qüestió, Verschaffel, Greer i De Corte (2000) apunten que hi ha dos aspectes de la pràctica educativa que cal tenir especialment en compte per gestionar correctament aquest procés d’enculturació: per una banda la naturalesa dels problemes proposats i per altra banda, la manera com el professorat concep i tracta aquests problemes en la seva interacció diària amb l’alumnat. Per altra banda també apunten que hi ha prou evidències científiques que mostren que aquesta capacitat de modelació realista pot ser apresa. Ara bé, cal tenir en compte que això té un cost determinat en termes d’esforç, de complexitat de les tasques, de dedicació de temps i de reducció dels temaris tradicionals.

Amb tot això voldríem acabar apuntant dues conclusions. La primera està relacionada directament amb l’aprenentatge de matemàtiques i vindria a dir que «cal tenir en compte que el fet d’encarar els nens i nenes amb problemes no estandarditzats pot actuar com a antídot contra el desenvolupament de creences errònies i tàctiques inadequades en la resolució de problemes verbals i que caldria treballar activitats genuines de modelització incloent altres tipus de problemes que siguin complexos, autèntics, oberts i amb característiques dels problemes reals de la vida real», Verschaffel (2012):

I, la segona, relacionada amb els processos d’innovació que s’estan començant a aplicar a moltes escoles del nostre país, és que cal anar molt amb compte amb la qualitat de les propostes de treball –projectes– sobre els que es basteix l’aprenentatge escolar per tal que sorgeixin de contextos reals, basats en els interessos concrets dels nens i que es desenvolupin en l’entorn real de cada aula, de cada escola. Això facilitarà que posin en joc tot el seu coneixement –formal i informal– i promourà la construcció d’aprenentatges significatius i autèntics. Ara bé, si es treballa sobre propostes alienes al món de la vida de la seva aula, que no han sorgit directament dels seus interessos i que els nens poden percebre com a artificioses, es corre el risc de promoure processos de suspensió de cerca de sentit que podrien arribar a ser fins i tot contraproduents per assolir un aprenentatge significatiu i autèntic.

(Les imatges utilitzades estan publicades a Internet sota llicència Creative Commons)

Referències bibliogràfiques:

Catalunya. Decret 119/2015, de 23 de juny, d’ordenació dels ensenyaments de l’educació primària. Diari Oficial de la Generalitat de Catalunya, núm 6900, pp. 1-136

Verschaffel, L. (2012). Los problemas aritméticos verbales y la modelización matemática. A Planas, N. (Coord.) Teoría, crítica y práctica de la educación matemática (pp. 27-41) Barcelona: Graó

Verschaffel, L., Greer, B., De Corte, E. (2000). Making sense of word problems. Lisse (Holanda): Swets & Zeitlinger